Kolonneplass for en matrise

Lineær algebra er et bredt tema for matematikk med applikasjoner i forskjellige situasjoner i den virkelige verden, spesielt innen maskinlæring. Matriser og vektorer er de grunnleggende byggesteinene til lineær algebra, og de brukes i en rekke prosedyrer og verktøy. Kolonneområdet til en matrise vil bli diskutert i denne artikkelen. Vi vil også gå over flere nødvendige terminologier for å forstå matrisens kolonneplass.

Hva er spennet til en vektor?

Span betyr ganske enkelt at gitt et sett med vektorer, hvis noen lineær kombinasjon blir brukt på det settet med vektorer og det forblir innenfor det vektorrommet, spenner det over vektorrommet. Dette betyr at hvis du multipliserer noen skalar med en spesifikk vektor, vil den forbli innenfor den dimensjonen, enten du jobber med den første, andre, tredje eller nde dimensjon. Det sies at det "spenner over" overalt innenfor den dimensjonen. Når du multipliserer et sett med vektorer med en skalar, indikerer det ganske enkelt at settet med vektorer du jobber med kan dekke (eller plasseres hvor som helst inne) den fulle dimensjonen (eller vektorrommet) du jobber med.

Hva er lineær kombinasjon?

Anta at du har et sett med matematiske objekter x₁.. .x_n som støtter skalær multiplikasjon og tillegg (e.g., medlemmer av en ring eller et vektorrom), deretter y = a₁x₁+en₂x₂+... a_nx_n (hvor AI er noen skalarverdier). Den mest populære illustrasjonen er å bruke 3D -vektorer i euklidisk rom. En vektor som ligger i samme plan gjennom opprinnelsen som de originale to vektorene som er satt på opprinnelsen, er en lineær kombinasjon av to slike vektorer.

Hva er rad- og kolonneområder?

Anta at en er en MXN -matrise over feltet f. Så er det n-komponentvektorer i radene, og det er m av dem. Tilsvarende er hver m-komponentvektor representert med n kolonner. Underområdet til fⁿ Dannet av radvektorene er As rad-rom, og elementene er lineære kombinasjoner av radvektorene. Dette rommet har dimensjon, og kolonnene tvinger slike forhold mellom radene og omvendt. Tilsvarende er matrisens kolonneområde underområdet til F^m dannet av matrisens kolonnevektorer. Selv om dette rommet er forskjellig fra radplass generelt, har det de samme dimensjonene som radplass siden ethvert lineært forhold mellom søylene også pålegger slike forhold mellom radene og omvendt.

Dykking mer inn i søyleområdet

Span er det mer grunnleggende konseptet. Enkelt sagt, spennet til kolonnene til en gitt vektor er det vi kaller kolonneplassen. Du kan ta alle mulige lineære kombinasjoner av vektorer hvis du har en samling av dem. Det resulterende vektorrommet er kjent som spennet til den originale samlingen. Kolonneplassen er en samling av et sett med alle mulige lineære kombinasjoner av matrisens kolonnevektorer. Med andre ord, hvis en vektor b i r^m Kan uttrykkes som en lineær kombinasjon av A -kolonner, den er i As kolonneområde. Det vil si b ∈ Cs (a) nettopp når det finnes skalarer x₁, x₂,..., x_n slik at

Som produkt av en med en kolonnevektor, kan enhver lineær kombinasjon av kolonnevektorene til en matrise A skrives:

Derfor består kolonneområdet til Matrix A av alle mulige produkter a*x, for x ∈ Cⁿ. Ovennevnte resultat er også bildet av den tilsvarende matrikstransformasjonen.

Vi betegner vanligvis rad- og kolonneområdene i matrisen (la oss si a) med henholdsvis C (AT) og C (A).

Konklusjon

Denne artikkelen dekket forskjellige emner knyttet til matrisens kolonneplass. Spennet til en vektor er det rommet som holder seg uendret etter at en lineær kombinasjon blir brukt på samlingen av vektorer. Etter å ha multipliserer et sett med vektorer og skalarer, kalles summeringen en lineær kombinasjon. Samlingen av alle tenkelige lineære kombinasjoner av en matriks kolonnevektorer er matrisens kolonneplass.